Arreglos donde el orden sí importa
Selecciones donde el orden no importa
| n | n! | n | n! |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 6 | 720 |
| 1 | 1 | 7 | 5,040 |
| 2 | 2 | 8 | 40,320 |
| 3 | 6 | 9 | 362,880 |
| 4 | 24 | 10 | 3,628,800 |
| 5 | 120 | 11 | 39,916,800 |
Problema: ¿De cuántas formas se pueden ordenar 5 libros en un estante?
Solución: P(5,5) = 5! = 120
Problema: ¿De cuántas formas se pueden elegir 3 estudiantes de un grupo de 10?
Solución: C(10,3) = 120
Problema: ¿Cuántas palabras se pueden formar con las letras de "CASA"?
Solución: 4!/(2!×1!×1!) = 12
Problema: ¿De cuántas formas se pueden sentar 6 personas en una mesa redonda?
Solución: (6-1)! = 5! = 120
En permutaciones, el orden importa; en combinaciones, no. Permutación P(n,r) = n!/(n-r)! cuenta arreglos ordenados. Combinación C(n,r) = n!/[r!(n-r)!] cuenta selecciónes sin orden. Ejemplo: de ABC, permutaciones de 2: AB, AC, BA, BC, CA, CB (6 total). Combinaciones de 2: AB, AC, BC (3 total, orden irrelevante).
Use permutaciones cuando el orden sea importante: asientos en fila, dígitos de PIN, carrera de caballos, cargos directivos. Use combinaciones cuando el orden no importe: equipos, comités, selección de ingredientes, lotería. Pregunta clave: ¿AB es diferente de BA? Si sí, permutación; si no, combinación.
El factorial n! es el producto de todos los enteros positivos desde 1 hasta n. Por ejemplo: 5! = 5×4×3×2×1 = 120. Por definición, 0! = 1. Los factoriales crecen muy rápidamente: 10! = 3,628,800. Se usan para contar arreglos totales de n objetos distintos.
Cuando algunos elementos se repiten, la fórmula es n!/(n1!×n2!×...nk!), donde n1, n2, ...nk son las frecuencias de cada elemento repetido. Ejemplo: permutaciones de AABBC = 5!/(2!×2!×1!) = 120/4 = 30. Esto evita contar como diferentes los arreglos que solo difieren en intercambiar elementos idénticos.
Se usan en: probabilidad y estadística, diseño de experimentos, criptografía, genética (secuencias de ADN), loterías y juegos de azar, programación de horarios, optimización de rutas, análisis de redes sociales, y diseño de códigos de corrección de errores. Son fundamentales en el cálculo de probabilidades.