| Propiedad | Fórmula | Descripción |
|---|---|---|
| Producto | log(a×b) = log(a) + log(b) | El logaritmo de un producto es la suma de logaritmos |
| Cociente | log(a÷b) = log(a) - log(b) | El logaritmo de un cociente es la diferencia de logaritmos |
| Potencia | log(a^n) = n×log(a) | El logaritmo de una potencia |
| Cambio de base | log_b(x) = log_a(x) / log_a(b) | Conversión entre diferentes bases |
| Identidad | log_b(b) = 1 | El logaritmo de la base es 1 |
| Base unitaria | log_b(1) = 0 | El logaritmo de 1 es siempre 0 |
Un logaritmo es el exponente al que hay que elevar una base para obtener un número dado. Si b^x = a, entonces log_b(a) = x. Por ejemplo: log_10(100) = 2 porque 10^2 = 100. Los logaritmos transforman multiplicaciones en sumas y potencias en productos, simplificando cálculos complejos.
ln(x) es el logaritmo natural (base e ≈ 2.718), log(x) generalmente se refiere al logaritmo común (base 10), y log_10(x) específicamente indica base 10. En calculadoras científicas: ln para logaritmo natural, log para base 10. En matemáticas avanzadas, log a menudo significa logaritmo natural.
Propiedades fundamentales: log(xy) = log(x) + log(y) (producto), log(x/y) = log(x) - log(y) (cociente), log(x^n) = n×log(x) (potencia), log_b(b) = 1 (base igual), log_b(1) = 0 (logaritmo de 1), y cambio de base: log_a(x) = log_b(x)/log_b(a). Estas propiedades simplifican cálculos complejos.
Se aplican en: escala de Richter (terremotos), decibelios (sonido), pH (acidez), finanzas (interés compuesto), computación (complejidad algorítmica), biología (crecimiento poblacional), química (cinética de reacciones), y física (decaimiento radioactivo). Cualquier fenómeno exponencial usa logaritmos para linealizarlo.
Estrategias comunes: usar propiedades de logaritmos para simplificar, aplicar exponenciación para "cancelar" logaritmos (si log(x) = a, entonces x = 10^a), cambiar base cuando sea necesario, verificar soluciones (el argumento debe ser positivo), y recordar que log(x) = log(y) implica x = y. Siempre verifica que las soluciones estén en el dominio.